Kelajuan adalah perubahan posisi titik terhadap satuan waktu. Diberikan suatu fungsi sembarang f(t) berada pada titik t kemudian dari titik t bergeser kesamping sebanyak h sehingga posisi titik berada pada f(t+h). Sehingga dapat dicari kelajuan fungsi f dari t menuju h dengan persamaan.
$v(t)=\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$
Untuk mencari kelajuan di pada waktu kontinu, kita asumsikan \(h\) mendekati nilai 0 \(( h\rightarrow 0 )\) tapi tidak sama dengan 0 (h ≠ 0), sehingga didapat persamaan kelajuan populasi
$\begin{aligned}\lim_{t \to 0} v(t )&=\lim_{t \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\\&=f'(t)\\&=\frac{df}{dt}\end{aligned}$
Jadi dapat disimpulkan kelajuan pertumbuhan populasi merupakan suatu turunan pertama atau persamaan diferensial orde 1 sehingga untuk mencari nilai \(f(t)\) pada titik t perlu dicari penyelesaian diferensial terlebih dahulu .
Kelajuan Pertumbuhan Exponensial Tanpa Batasan
Misalkan suatu habitat hanya berisi 1 spesies P saja dengan kelajuan pertumbuhan konstan yang dapat ditulis dengan persamaan.
$\frac{dP}{dt}=rP$
Dimana dP/dt adalah kelajuan pertumbuhan konstan dari fungsi pertumbuhan P(t) pada waktu kontinu dan r adalah konstanta rata-rata pertumbuhan populasi dan P adalah populasi spesies. Dengan menyelesaikan persamaan diferensial diatas kita dapat menemukan jumlah populasi spesies terhadap waktu (t) dapat dicari dengan rumus
$\begin{aligned}\frac{1}{P}dP&=r dt\\\int\frac{1}{P}dP&=\int r dt\\ln(P)&=rt\\P(t)&=Ce^{rt}\end{aligned}$
Kemudian kita misalkan populasi awal pada t=0 adalah \(P_0\) sehingga dapat ditulis \(P(0)=P_0\). Sehingga kita dapat cari nilai dari C
$\begin{aligned}P(0)&=Ce^{r0}\\P_0&=C\end{aligned}$
Dengan diketahui nilai C kita dapat menulis fungsi pertumbuhan populasi P dengan
$P(t)=P_0 e^{rt}$
Kelajuan Pertumbuhan Logistik dengan Kapasitas Maksimal Populasi
Selanjutnya jika suatu spesies hidup dalam habitat tertutup yang mengakibatkan sumber makanan menjadi terbatas hanya pada habitat tersebut. Keterbatasan makanan inilah yang kemudian membatasi populasi suatu spesies sehingga suatu spesies memiliki kapasitas maksimal untuk suatu habitat.
Misalkan K adalah kapasitas maksimal suatu populasi dan P adalah jumlah populasi. Kita dapat menghitung ketersediaan ruang pertumbuhan dengan \(\big(1-\frac{P}{K}\big)\). Ketersediaan ruang pertumbuhan ini kemudian mempengaruhi laju pertumbuhan yang dapat ditulis, sebagai berikut
$\frac{dP}{dt}=rP\Big(1-\frac{P}{K}\Big)$
Pada awalnya P cukup kecil yang mengakibatkan \(\big(1-\frac{P}{K}\big)\ mendekati 1 sehingga tidak mempengaruhi laju pertumbuhan, tetapi seiring waktu jumlah populasi P akan meningkat menyebabkan 1-PK semakin kecil sehingga laju pertumbuhan akan semakin melambat.
Misalkan suatu waktu \(P>K\), \(\big(1-\frac{P}{K}\big)\) akan bernilai negatif yang mengakibatkan penurunan populasi hingga tercapainya kondisi \(P<K \) yang membuat peningkatan kembali jumlah populasi.
Dari persamaan laju pertumbuhan tersebut, kemudian akan dicari fungsi untuk jumlah populasi dengan menyelesaikan persamaan diferensial diatas, sehingga didapat persamaan :
$P(t)=\frac{P_0 Ke^{rt}}{K-P_0\big(1-e^{rt}\big)}$
