Misalkan \(X_1,X_2,...,X_n\) peubah acak saling bebas dan berdistribusi log normal dengan parameter rata-rata \(\mu \) dan varians \(\sigma^2\). Tentuka estimator penduga parameter untuk \(\mu\) dan \(\sigma^2\).
$f(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}x}exp[-\frac{1}{2}(\frac{ln(x)-\mu}{\sigma})^2]$
Pertama perlu dicari Momen populasi untuk log normal, yaitu :
$\begin{aligned}\mu'_1&=E(X)\\&=exp[\mu+\frac{1}{2}\sigma^2]\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mu'_2&=E(X^2)\\&=exp[2\mu+2\sigma^2]\end{aligned}$
Selanjutnya akan dicari momen sampel
$M_1=\frac{1}{n}\sum{x_i}=\bar{x}$
$M_2=\frac{1}{n}\sum{x_i^2}$
Selanjutnya akan disamakan untuk momen populasi dan sampel yang bersesuaian
$\begin{aligned}\mu'_1&=M_1\\exp[\hat{\mu}+\frac{1}{2}\hat{\sigma}^2]&=\bar{x}\\\hat{\mu}+\frac{1}{2}\hat{\sigma}^2&=ln(\bar{x})\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mu'_2&=M_2\\exp[2\hat{\mu}+2\hat{\sigma}^2]&=\frac{1}{n}\sum{x_i^2}\\ exp[ln(\bar{x})+\hat{\sigma}^2]&=\frac{1}{n}\sum{x_i^2}\\ln(\bar{x})+\hat{\sigma}^2&=ln(\frac{1}{n}\sum{x_i^2})\\ \hat{\sigma}^2&=ln(\sum{x_i^2})-ln(n)-2ln(\bar{x})\end{aligned}$
Selanjutnya untuk \(\mu\)
$\begin{aligned}\hat{\mu}+\frac{1}{2}\hat{\sigma}^2&=ln(\bar{x})\\ \hat{\mu}&=ln(\bar{x})-\frac{1}{2}(ln(\sum{x_i^2})-ln(n)-2ln(\bar{x}))\\ \hat{\mu}&=2ln(\bar{x})-\frac{1}{2}ln(\sum{x_i^2})+\frac{1}{2}ln(n)\end{aligned}$
