Misalkan bahwa peluang bahwa sepasang anak kembar adalah laki-laki sebesar 0,30 dan peluang bahwa keduanya perempuan adalah 0,26. Diketahui bahwa peluang seorang anak laki-laki adalah 0,52

Misalkan bahwa peluang bahwa sepasang anak kembar adalah laki-laki sebesar 0,30 dan peluang bahwa keduanya perempuan adalah 0,26. Diketahui bahwa peluang seorang anak laki-laki adalah 0,52. Berapakah peluang:

(i). Anak kembar kedua adalah laki-laki, diketahui bahwa anak pertama lakilaki?

(ii). Anak kembar kedua adalah perempuan, diketahui bahwa anak pertama perempuan?

(iii). Anak kembar kedua adalah laki-laki?

(iv). Anak kembar pertama laki-laki dan anak kembar kedua perempuan?

Read More

Diketahui banyaknya pasien yang datang di rumah sakit mengikuti proses Poisson dengan rata-rata 30 pasien perhari. Sedangkan banyaknya pasien yang sembuh dan meninggalkan rumah sakit rata-rata 20 orang perhari dan mengkuti proses poisson.

Diketahui banyaknya pasien yang datang di rumah sakit mengikuti proses Poisson dengan rata-rata 30 pasien perhari. Sedangkan banyaknya pasien yang sembuh dan meninggalkan rumah sakit rata-rata 20 orang perhari dan mengkuti proses poisson.

Tentukan:

1. Probabilitas bahwa banyaknya pasien yang meninggalkan rumah sakit selama 2 hari tidak kurang dari 30 pasien.
2. Probabilitas banyaknya pasien yang datang selama 2 hari adalah 40 orang
3. Jika N(t) banyaknya pasien yang belum sembuh selama waktu t hari, maka berapakah probabilitas bahwa setelah lima hari tidak ada pasien yang tinggal atau (P(N(5)=0)?
4. E(N(t))=....?

Misalkan X(t): banyak pasien yang datang pada hari ke-t

Y(t): banyak pasien yang pulang/meninggalkan rumah sakit pada hari ke-t

N(t): banyak pasien yang yang tinggal di RS (belum sembuh) pada hari ke-t

Diketahui rate : λx=30; λY=20

Read More

Diketahui bahwa {X1(t), t ≥0} dan {X2(t), t ≥0} adalah dua proses poisson yang independent dengan intensitas masing-masing λ1 dan λ2

Diketahui bahwa {X1(t), t ≥0} dan {X2(t), t ≥0} adalah dua proses poisson yang independent dengan intensitas masing-masing λ1 dan λ2. Bila suatu proses {Y(t), t ≥0} dengan: Y(t)=X1(t)+ X2(t) Tunjukkan bahwa Y(t) juga merupakan proses poisson!

Read More

Berikut adalah data (dalam jam) antara kegagalan peralatan AC di suatu pesawat: 74, 57, 48, 29, 502, 12, 70, 21, 29, 386, 59, 27, 153, 26, 326. Asumsikan bahwa data yang teramati merupakan sampel acak dari distribusi Exp(θ)

Berikut adalah data (dalam jam) antara kegagalan peralatan AC di suatu pesawat: 74, 57, 48, 29, 502, 12, 70, 21, 29, 386, 59, 27, 153, 26, 326. Asumsikan bahwa data yang teramati merupakan sampel acak dari distribusi Exp(θ). Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk nilai tengah waktu antara kegagalan.

Jawab:

Dari soal didapat \(n=15\), \(\sum_{i=1}^n x_{i}=1.819\). Menggunakan selang kepercayaan distribusi exponential:

$$P \Big( \frac{2\sum_{i=1}^n X_{i}}{\chi_{1-\alpha/2}^2 (2n)} \lt \theta \lt \frac{2\sum_{i=1}^n X_{i}}{\chi_{\alpha/2}^2 (2n) }\Big)=1-\alpha$$

Untuk \(\90\%=1-\alpha, \alpha=0,1)\:

$$P \Big( \frac{2\times 1.819}{\chi_{0.95}^2 (2\times 15)} \lt \theta \lt \frac{2\times 1.819}{\chi_{0.05}^2 (2\times 15) }\Big)=90\%$$

$$P \Big( 83,11065 \lt \theta \lt 196,7267 \Big)=90\%$$

Read More

Korelasi Pearson

Apa itu Korelasi Pearson?

Korelasi Pearson bivariat menghasilkan koefisien korelasi sampel, r , yang mengukur kekuatan dan arah hubungan linier antara pasangan variabel kontinu. Dengan ekstensi, Korelasi Pearson mengevaluasi apakah ada bukti statistik untuk hubungan linier antara pasangan variabel yang sama dalam populasi, diwakili oleh koefisien korelasi populasi, ρ ("rho"). Korelasi Pearson adalah ukuran parametrik.

Ukuran ini juga dikenal sebagai:

• korelasi Pearson
• Korelasi momen-produk Pearson (PPMC)

Penggunaan Umum Korelasi Pearson

Korelasi Pearson bivariat umumnya digunakan untuk mengukur hal-hal berikut:

• Korelasi antar pasangan variabel
• Korelasi di dalam dan di antara kumpulan variabel

Korelasi Pearson bivariat menunjukkan hal berikut:

• Apakah ada hubungan linier yang signifikan secara statistik antara dua variabel kontinu
• Mencari tahu kekuatan hubungan linier (yaitu, seberapa dekat hubungan tersebut menjadi garis lurus sempurna)
• Mencari tahu arah hubungan linear (naik atau turun)

Catatan: Korelasi Pearson bivariat tidak dapat mengatasi hubungan non-linear atau hubungan antar variabel kategori. Jika Anda ingin memahami hubungan yang melibatkan variabel kategori dan/atau hubungan non-linear, Anda perlu memilih ukuran asosiasi yang lain.

Catatan: Korelasi Pearson bivariat hanya mengungkap hubungan antar variabel kontinu. Korelasi Pearson bivariat tidak memberikan kesimpulan apa pun tentang sebab-akibat, tidak peduli seberapa besar koefisien korelasinya.

Syarat Data untuk Korelasi Pearson

Untuk menggunakan korelasi Pearson, data Anda harus memenuhi persyaratan berikut:

1. Dua atau lebih variabel kontinu (yaitu interval atau tingkat rasio).
2. Kasus harus memiliki nilai yang tidak hilang pada kedua variabel.
3. Hubungan linier antar variabel.
4. Kasus independen (yaitu, independensi pengamatan)
• Tidak ada hubungan antara nilai variabel antar kasus. Ini berarti bahwa:
• nilai untuk semua variabel di seluruh kasus tidak berhubungan.
• untuk kasus apa pun, nilai variabel apa pun tidak dapat memengaruhi nilai variabel apa pun untuk kasus lain tidak ada kasus yang dapat memengaruhi kasus lain pada variabel apa pun
• Koefisien korelasi Pearson biviariat dan uji signifikansi yang sesuai tidak kuat ketika independensi dilanggar.
5. Normalitas bivariat
• Setiap pasangan variabel bivariat berdistribusi normal
• Setiap pasangan variabel secara bivariat terdistribusi secara normal di semua tingkat variabel lainnya
• Asumsi ini memastikan bahwa variabel terkait secara linear; pelanggaran asumsi ini dapat menunjukkan bahwa hubungan non-linear antara variabel ada. Linearitas dapat dinilai secara visual menggunakan sebar data.
6. Sampel acak data dari populasi.
7. Tidak ada outlier

Hipotesis Korelasi Pearson

Hipotesis nol ( H 0 ) dan hipotesis alternatif ( H ​​1 ) dari uji signifikansi untuk korelasi dapat dinyatakan dengan cara berikut, tergantung pada apakah uji satu sisi atau dua sisi diminta:

Uji signifikansi dua sisi:

H 0 : ρ  = 0 ("koefisien korelasi populasi adalah 0; tidak ada asosiasi")
H 1 : ρ ≠ 0 ("koefisien korelasi populasi bukan 0; korelasi bukan nol dapat terjadi")

Uji signifikansi satu sisi:

H 0 : ρ  = 0 ("koefisien korelasi populasi adalah 0; tidak ada hubungan")
H 1 : ρ   > 0 ("koefisien korelasi populasi lebih besar dari 0; korelasi positif dapat terjadi")
     ATAU
H 1 : ρ   < 0 ("koefisien korelasi populasi kurang dari 0; korelasi negatif bisa ada")

di mana ρ adalah koefisien korelasi populasi.

Read More

Cara Menginstal Packages di R Studio

Apa itu packages di R / R studio?

Packages adalah paket yang berisi sekumpulan fungsi, perintah atau data yang dapat diunduh untuk memepermudah pengguna dalam melakukan analisis data. Packages yang sudah diunduh dan diinstal kemudian akan tersimpan kedalam library yang bisa dipanggil kapan saja.

Cara Menginstal Packages di R dan RStudio

Ada beberapa cara menginstal packages seperti menggunakan kode, melalui menu Packages.

Menginstal menggunakan kode perintah (bisa digunakan di R dan RStudio) :

1. Pastikan komputer terhubung dengan internet.

2. Packages dapat diinstal menggunakan kode install.packages("Package Name")  pada script atau consule.

3. Jika muncul kotak secure Cran mirror pilih mirror yang tersedia, anda bisa memilih yang berasal dari Indonesia jika gagal bisa pilih miror yang lain.

4. Tunggu sampai proses instalisasi selesai.

Menggunakan menu Packages di R

1. Pastikan komputer terhubung dengan internet dan buka R.

2. Klik menu Packages dan pilih Instal Packages

3. Pada Cran Mirror pilih salah satu mirror yang tersedia.

4. Selanjutnya pilih packages yang ingin diinstal lalu ok dan tunggu hingga proses selesai.

Menggunakan menu Packages di RStudio

1. Pastikan komputer terhubung dengan internet dan buka RStudio

2. Klik menu Packages pada bagian kiri bawah (dibawah environment)

3. Klik Instal sehingga muncul box berikut:

4. Pada kolom Packages isi dengan nama packages/paket yang ingin diinstal.

5. Tunggu hingga proses selesai dan paket bisa digunakan

Cara Menjalankan Packages

Setelah packages diinstal belum berarti packagesnya bisa langsung dipakai. Packages harus dijalankan/Run dengan perintah library("NamaPackages"). Perlu diingat library ini perlu dijalankan setiap kali membuka R atau Rstudio.

Read More

Deret Waktu : Model Autoregressive AR(p)

Definisi Model Autoregressive AR(p)

Model autoregresif adalah model deret waktu stasioner yang memprediksi nilai masa depan berdasarkan nilai masa lalu. Misalnya, model autoregresif mungkin berusaha memprediksi harga saham di masa depan berdasarkan kinerja masa lalunya.

Model autoregresif beroperasi di bawah premis bahwa nilai masa lalu berpengaruh pada nilai saat ini, yang membuat teknik statistik populer untuk menganalisis alam, ekonomi, dan proses lain yang bervariasi dari waktu ke waktu. Model regresi berganda meramalkan suatu variabel menggunakan kombinasi prediktor linier, sedangkan model autoregresif menggunakan kombinasi nilai variabel masa lalu.

Proses autoregresif AR(p) adalah proses dinmana nilai saat ini didasarkan pada p nilai sebelumnya. Contohnya :Proses autoregresif AR(1) adalah proses di mana nilai saat ini didasarkan pada nilai sebelumnya, sedangkan proses AR(2) adalah proses di mana nilai saat ini didasarkan pada dua nilai sebelumnya. Proses AR(0) digunakan untuk derau putih (white noise) dan tidak memiliki ketergantungan di antara istilah-istilah tersebut.

Rumus Autoregresi AR(p)

Model Autoregresi secara umum ditulis sebagai berikut:

$y_{t} = \delta+ \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \dots + \phi_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t}$

dimana \(\epsilon_t\) adalah white noise ~WN(0,\(\sigma_{\epsilon}\))

• Untuk AR(1) :\(-1 < \phi_1 < 1\)
• Untuk AR(2) : \(-1 < \phi_2 < 1\) dan \(\phi_1+\phi_2 < 1\), serta \(\phi_2-\phi_1 < 1\)

Rata-rata dan Varians AR(p), E(\(Y_t\))

Karena Autoregresif merupakan model stasioner, sehingga nilai rata-rata dan varians \(Y_t\) konstan dan tidak bergatung pada waktu t

Rata-Rata AR(1) :

$E(Y_t)=E(Y_{t-1}=\dots=E(Y_{t-h})=\mu=\dfrac{\delta}{1-\phi_1}$

Varians AR(1):

\(Var(x_t) = \dfrac{\sigma^2_\epsilon}{1-\phi_1^2}\)

Kovarian AR(1):

\(Cov(Y_t,Y_{t±h})=\gamma_h=\dfrac{\delta}{1-\phi_1}\phi^h_1\)

Korelasi

\(\rho_h = \dfrac{\gamma_h}{\gamma_0}=\phi^h_1\)

Fungsi Autokorelasi ACF dan Autokorelasi Parsial PACF dari AR(p)

Pada Autoregressive AR(p) secara teoritis bentuk ACF berbentuk lag yang setiap bertambah lag nilai terus menurun dengan nilai \(\phi^h_1\).Sedangkan untuk PACF dari AR(p) benilai sebanyak p lag dan pada lag ke p+1 nilainya 0

Berikut contoh ACF dan PACF untuk AR(1), AR(2) dan AR(p)

Read More